Función

Las relaciones y las funciones describen la interacción entre variables que estan ligadas. 

Estas relaciones incluyen valores independientes y entradas que son variables que pueden ser maniuladas por las circunstancias. 

Estas relaciones incluyen valores independientes y entradas que son variables que pueden ser manipuladas por las circunstancias.
Tambien incluyen valores dependientes y salidas. que son las variables determinadas por los valores independientes

Dominio y rango de función 

Están normalmente limitadas por la naturaleza de la relación. por ejemplo considera la función de tiempo y altura que ocurre cuando lanzan una pelota al aire y luego la atrapas el dominio es cada valor de duración del lanzamiento. 

El rango es la altura hasta donde llega la pelota.

Ecuacion general de segundo grado en 2 variables

La ecuación general de segundo grado es una ecuación que contiene todos los términos diferentes posibles en una ecuación de segundo grado en dos variables:

Actualmente, las secciones cónicas pueden definirse de varias maneras; estas definiciones provienen de las diversas ramas de la matemática: como la geometría analítica, la geometría proyectiva, etc.
INDICADOR O DISCRIMINANTE
En la ecuación general de segundo grado con dos variables se llama indicador o discriminante de la ecuación al valor de la expresión B^2-4AC, el cual se representa con la letra I,I=B^2-4AC,donde A,B y C son los coeficientes de los términos de segundo grado.
Si el valor del discriminante de una ecuación es negativo, cero o negativo, ello nos indica que la ecuación corresponde a una elipse, a una parábola o a una hipérbola, respectivamente. Estas tres curvas son las que reciben el nombre genérico de cónicas.
Resumiendo lo anterior, decimos:
Siendo I=B^2-4AC
Si I<0 es una Elipse
Si I=0 es una Parábola
Si I>0 es una Hipérbola

ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO

Los coeficientes de los términos de segundo grado son los que determinan qué curva corresponde una ecuación dada y el término Bxy no aparee nunca en la circunferencia y tampoco en la parábola, elipse o hipérbola si sus ejes coinciden o son paralelos con los ejes cartesianos.
Otra alternativa de construir un cono, es considerar una recta con un punto y una inclinación fijos, y tomar en cuenta la superficie generada por dicha recta al hacer un giro de 360 grados respecto al punto fijo y manteniendo constante la inclinación, dicha superficie se considera como un cono circular recto que tiene dos mantos.

• Si el corte es paralelo a la generatriz y es en el vértice, lo que se obtiene es una recta (la generadora de los mantos). En este caso los coeficientes de los términos cuadráticos y el término xy son cero.
La primera definición conocida de sección cónica surge en la Antigua Grecia, cerca del año 1000 (Menæchmus) donde las definieron como secciones “de un cono circular recto”. Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Perge. 
• Si se corta el cono con un plano paralelo a su base, el corte es una circunferencia.
• Si se corta el cono con un plano paralelo a su generatriz, el corte es una parábola.
• Si se corta el cono con un plano paralelo a su altura, el corte es una hipérbola.
El plano corta los dos mantos del cono y por lo tanto la hipérbola tiene dos ramas.
• Si se corta el cono con un plano que no sea paralelo a alguno de sus elementos, el corte es una elipse.

La hiperbola

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva. La hipérbola también se puede definir como una cónica, siendo la intersección del cono con un plano que no pase por su vértice y que forme un ángulo con el eje del cono menor que el ángulo que forma con el eje 

generatriz g del cono.

La elipse

La elipse es una curva plana, simple y cerrada.

Una elipse es la curva cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.​ Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. La elipse es también la imagen afín de una circunferencia.

La parabola

En matemáticas, una parábola es la sección cónica de excentricidad igual a 1,​ resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. El plano resultará por lo tanto paralelo a dicha recta.​ Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz,  y un punto exterior a ella llamado foco. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.

La circunferencia

La circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del centro.

Distíngase del círculo, que es el lugar geométrico de los puntos contenidos en el interior de dicha circunferencia, o sea, la circunferencia es el perímetro del círculo. Los puntos de la circunferencia están a una distancia igual al radio del centro del círculo, mientras los demás puntos del círculo están a menor distancia que el radio.

Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semi-ejes son iguales, o los focos coinciden; o bien fuera una elipse cuyas directrices están en el infinito. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono regular de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.

Lugares geometricos

En geometría un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen determinadas condiciones o propiedades geométricas.

En el plano 

Ejemplos de lugares geométricos en el plano:

• El lugar geométrico de los puntos que equidistan a otros dos puntos fijos A y B es una recta o eje de simetría de dichos dos puntos. Si los dos puntos son los dos extremos de un segmento  , dicha recta o lugar geométricos, es llamada mediatriz y que es la recta que interseca perpendicularmente a    en su punto medio.
• La bisectriz es también un lugar geométrico. Dado un ángulo la bisectriz cumple la propiedad de que todos sus puntos equidistan a los lados de dicho ángulo, convirtiéndose la bisectriz en un caso particular del lugar geométrico que sigue a continuación.
• El caso de equidistancia a dos rectas paralelas, obtenemos que la paralela media es el lugar geométrico de los puntos que las equidistan. Se observa que, bajo el punto de vista de que las rectas paralelas se cortan en el infinito se elimina, pues, la noción de paralelismo, pasa a ser un sinónimo de la bisectriz, donde el ángulo ha tomado valor nulo.

La recta

En geometría euclidiana, la recta o la línea recta es una línea que se extiende en una misma dirección por tanto tiene una sola dimensión y contiene un número infinito de puntos. Dicha recta también se puede describir como una sucesión continua de puntos extendidos en una sola dirección.

Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos ya que su definición solo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Un ejemplo de las dificultades de la definición de la recta a partir de puntos es la llamada paradoja de Zenón de la dicotomía que ilustraba la desaparición de la recta al dividirla en puntos porque luego no había un concepto para ensamblar dicha recta a partir de puntos ya que la unión de dos puntos es un punto. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula.

En geometría analítica las líneas rectas en un plano pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano cartesiano. En dicha expresión m es denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado "término independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.

Trigonometria analitica

En las expresiones algebraicas se Utiliza suma y resta cuyos valores pertenecen al conjunto de los números reales. En esta se aplicara algunos conocimientos utilizados en algebra a expresiones que involucran funciones trigonométricas pues estos valores pertenecen a los números reales. 

Operaciones algebraicas con funciones trigonométricas

Para iniciar el estudio de las expresiones que involucran las funciones trigonométricas se estudiara, la suma, la resta. la multiplicación y la división de estas expresiones. 

Suma y resta de expresiones trigonométricas 

Para resolver Suma y resta trigonométricas que involucran las funciones trigonométricas debemos juntar los términos semejantes y reducirlos. 

Nota para recordar: Para sumar números enteros se debe tener en cuenta sus signos 

Ejemplo: 

Multiplicación de expresiones trigonométricas 

Para multiplicar expresiones que involucran funciones trigonométricas se aplican las propiedades de la potenciación y la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y a la resta. 

Recordar: 

Propiedad distributiva 

Ejemplo: 

División de expresiones trigonométricas 

Factorización con funciones trigonométricas 

Es posible factorizar expresiones que involucran funciones trigonométricas mediante los mismos metodos que se utilizan en la factorización polinomios

Factor común:

En este caso es necesario identificar un factor que aparezca en todos los términos de la expresión y aplicar la propiedad distributiva 

# 24 + 12

  6.4 + 3.4 

 4 (6 + 3)

# 18 - 27

   6.3 - 9.3

  3( 6 - 9)

 

Factor común por agrupación 

En este caso se separa la expresión en dos o más partes iguales ( igual cantidad de términos). En cada una de ellas se identifica el factor común y se aplica la propiedad distributiva. 

Diferencia de cuadrados 

La diferencia de los cuadrados de 2 expresiones que involucran funciones trigonométricas es igual a la suma por la diferencia de las expresiones. 

Trinomio cuadrado perfecto

Simplificación

Para simplificar una fracción en el que el numerador y denominador son productos de funciones trigonométricas se aplica la propiedad del cociente de potencia de igual base. 

Para simplificar una fracción en la que el numerador y el denominador consta de 2 o mas términos, se factoriza, el numerador y el denominador y se simplifica los factores comunes. 

Ejemplo: 

 

Identidad

En matemáticas, una identidad es la constatación de que dos objetos que matematicamente se escriben diferente, son de hecho el mismo objeto.
En particular, una identidad es una igualdad entre dos expresiones lo que es cierto sean cuales sean los valores de las distintas variables empleadas.
Es una igualdad entre 2 expresiones que es verdadera para todos los valores de la variable o las variables que se involucran, por ejemplo:

Una identidad que involucra funciones trigonométricas se denomina identidad trigonometrica. 

Ejemplo: 

Identidades Fundamentales 

Se llaman identidades fundamentales a las que se deducen directamente de las definiciones estas identidades se utilizan para transformar unas expresiones en otras, la cual permite comprobar otras identidades y resolver ecuaciones que involucran funciones trigonometricas

(se debe aprender lo señalado) 

Demostración de una identidad 

El metodo de demostracion de una identidad consiste en mostrar que uno de los miembros de una igualdad es igual a otro. 

Para ello se sugiere los siguientes pasos:

 1. Transformar el miembro más complejo de la igualdad en el miembro más simple, haciendo uso de las identidades fundamentales. 

2. De ser posible expresa las funciones trigonométricas que aparecen en la igualdad en terminar de las funciones seno y coseno.

3. Realizar las operaciones algebraicas para simplificar la expresión

Resolución de triángulos oblicuángulos

En este tema se estudiará la solución de triangulos en los cuales ninguno de los triangulos es recto. Este tipo de triangulos se demominan oblicuangulos.
Para resolver triangulos oblicuangulos se usan 2 teoremas: teorema o ley del seno o ley del coseno.
En la resolución de triangulos se presentan 4 casos

caso 1. (LLA O ALA)
Si se conoce un lado y 2 angulos

Caso 2. (LLA)
Si se conocen 2 lados y el ángulo opuesto a uno de ellos

Caso 3. (LAL)
Si se conocen 2 lados y el angulo comprendido entre ellos.

Caso 4. (LLL)
Si se conocen los 3 lados

Para resolver triamgulos que cumplen las condiciones del caso 1 y 2 se utiliza la ley del seno.
Y para solucionar triangulos que cumplen las condiciones 3 y 4 se utiliza la ley del coseno.

Ley del seno:
En todo trisngulo el seno de los ángulos y la medida de los lados respectivamente opuesto a dichos ángulos son directamente proporcionales, es decir,

 

Ejemplo: 

Ley del coseno 

Todo triángulo, el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros lados menos dos veces el producto de estas longitudes por el seno del ángulo comprendidos entre ellos, es decir 

Ejemplo: 

Desarrollo del ejemplo

Triangulos

El triángulo es un polígono de tres lados que da origen a 3 vértices y 3 ángulos internos. Es la figura más simple, después de la recta en la geometría. como norma general un triángulo se representa con 3 letras mayusculas de los vértices (ABC).

De acuerdo a la longitud de sus lados, un triángulo puede clasificarse en equilatero, donde los tres lados del triángulo son iguales; en isosceles, el triángulo tiene dos lados iguales y uno desigual, y en escaleno, donde tiene los tres lados desiguales. 

tambien se pueden clasificar según la medida de sus ángulos, puede ser un acutángulo, donde los tres ángulos son agudos; es decir, ángulos menores que 90º. si un triángulo presenta un ángulo recto o un  ángulo de 90º se dice que es rectángulo, y si presenta a uno de los tres ángulos como abtuso; es decir, un ángulo mayor que 90º se considera como obtusángulo.

Propiedades de los triángulos

1. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º.
2. Todo triángulo equilatero es equiangulo, es decir que las medidas de los ángulos de un triángulo son iguales.

3. si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a estos lados son congruentes

4.  si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a estos algunos son congruentes 

Trigonometria

La palabra trigonometría se deriva de dos raíces griegas: trigo que significa triángulo y metra que significa medida. La trigonometría se originó como el estudio de las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos y se empleó para resolver inicialmente problemas de navegación y realizar cálculos astronómicos. Los babilonios y los egipcios fueron los primeros en utilizar razones trigonométricas para tomar medidas en agricultura y para la construcción de piramides. 

En grecia se destacan los trabajos de pharco de nicua y de Claudio tolomeo quienes construyeron las primeras tablas de las funciones trigonométricas.

A finales del sigo XIII los astrónomos arabes emplearon la función seno y a finales del sigo X ya se utilizaban las otras 5 funciones. La trigonometria arabe se difundió por medio de traducciones de libros de astronomia arábicos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII . En la actualidad la trigonometría se usa en muchos campos del conocimiento tanto teóricos como prácticos e intervienen en gran cantidad de investigaciones geométricas y algebraicas, razón por la cual su aplicación no se limita a las relaciones entre los ángulos y lados de un triangulo. 

Definición de las funciones trigonométricas en un ángulo en posición normal 

Si (theta) en un ángulo en posicion normal y P(x,y) es cualquier punto contenido en el lado final diferente de 0(0,0) se cumple que op=r= raíz cuadrada de x a la 2 más y a la 2.

se define las funciones trigonometricas para el angulo (theta) de la siguiente manera 

      

Como consecuencia de las definiciones anteriores, se obtienen las siguientes relaciones reciprocas. 

Los valores de las funciones trignometricas de un ángulo theta es independiente del punto que se ubique sobre su lado final de la siguiente figura se plantea una sencilla grafica que demuestra esta afirmación. Los triángulos ORQ y OSP son semejantes son rectángulos y tienen el ángulo theta en común; por lo tanto 

Cabe notar que las funciones tangente y secante no estan definidas para los angulos (pi)/2 y 3(pi)/2

De la misma manera las funciones cotangente y cosecante no esta definidas para los angulos 0+- (pi) y +- 2(pi) 

Ejemplo 

Signos de las funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal

Para determinar el signo de las funciones trigonometricas se debe analizar el comportamiento de r,x, y.

Si theta es un ángulo en posición normal y p(x,y) es un punto sobre el lado final de theta diferente de (0,0). 

x y y varian dependiendo el cuadrante en que se encuentra por lo tanto el signo del valor de las funciones trigonometricas para cada angulo depende de los signos de x y y. En el siguiente cuadro se presentan los signos de las funciones del angulo theta en posición normal para los diferentes cuadrantes en que pueda estar ubicado el lado final 

si theta es un angulo en posicion normal determinar los posibles valores de la función tangente si coseno de theta=1/2=x/r

Funciones trigonométricas de los ángulos cuadrantes

Hasta el momento se han estudiado los ángulos cuyo lado final se encuentra en uno de los cuatro cuadrantes, ahora es importante considerar los ángulos cuyo lado final coincide con uno de los semi ejes del plano cartesiano. 

A los ángulos en posición normal cuyo lado final coincide con algunos del plano cartesiano se le llama ángulos cuadrantes. En la siguiente figura se muestran los ángulos cuadrantes 90º, 180º, 540º, -90º, -180º 

Para determinar las funciones trigonométricas de los ángulos cuadrantes, se considera que sobre su lado final se encuentran algunos de los puntos

En el siguiente cuadro se presentan los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos cuadrantes mayores iguales que cero o iguales que cero.

Razones trigonométricas en un triángulos rectángulos

Observa la siguiente figura

   

Cual es la medida del ángulo a? 

Cuanto mide el segmento AB?  

Los triángulos rectángulos ABC y EBO son semejantes porque cumplen el criterio de la semejanza Angulo- angulo (los dos tienen un ángulo recto y comparten la medida del ángulo de 33.69°). Por lo tanto, el angulo a es congruente con el angulo C, Es decir, a=56,31°. 

Por ser triangulos semejantes, se pueden establecer razones y proporciones entre las medidas de sus lados y así hallar la medida del segmento AB 

AC\ED=AB\EB; Entonces, 4\2=AB\3

Por lo tanto, AB=6

Otro tipo de razones se pueden establecer entre las medidas de los lados y los ángulos agudos en un triangulo rectángulo. Estas razones se denominan razones trigonométricas se definen las razones trigonométricas del angulo B como presenta a continuación: 

Observa el siguiente cuadro: 

Ejemplo 1. 

Las razones trigonométricas para un angulo agudo a (alfa) en el triangulo rectángulo ABC de la figura 3.26 se calcula aplicando las relaciones anteriores 

Sen a(alfa)=2/3 Cos a(alfa)= raíz cuadrada de 5/3 Tan a(alfa)= 2/raiz cuadrada de 5=2 raiz de 5/5

Ejemplo 2 

Si se sabe que theta= raíz cuadrada de 7/4, es posible calcular las demás razones trigonométricas para el ángulo theta. Dado que el seno se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, se puede dibujar un triangulo rectángulo tal que theta sea uno de sus ángulos agudos, la longitud del cateto opuesto a theta sea raíz cuadrada de 7 u y la de la hipotenusa. 4 u. 

 

Al utilizar el teorema de pitágoras, se obtiene que la longitud del cateto adyacente a theta esta dada por: 

X= raiz cuadrada de 4 a la 2- raiz cuadrada de 7 a la 2= raiz de 9= 30

De modo que los demas razones trigonométricas se pueden calcular así: 

Ejemplo 3: 

observa la figura 

Para calcular las razones trigonometricas de los ángulos a(alfa) y b(beta) del triangulo rectangulo, se usa el teorema de pitagoras como sigue: 

y a la 2= 5 a la 2 + 12 a la 2= raiz cuadrada de 25+144=13

Por lo tanto 

Si se sabe que seno b(beta)= cos b(beta)=4/5 y tan B 3/4, Para calcular las demás razones trigonométricas se tiene en cuenta los siguiente. Como CSC b(beta) es una razón inversa a sen b(beta) Sec b(beta) es inversa a Cos b(beta) y cot b(beta) es inversa a tan b(beta) entonces.