Ecuacion general de segundo grado en 2 variables

La ecuación general de segundo grado es una ecuación que contiene todos los términos diferentes posibles en una ecuación de segundo grado en dos variables:

Actualmente, las secciones cónicas pueden definirse de varias maneras; estas definiciones provienen de las diversas ramas de la matemática: como la geometría analítica, la geometría proyectiva, etc.
INDICADOR O DISCRIMINANTE
En la ecuación general de segundo grado con dos variables se llama indicador o discriminante de la ecuación al valor de la expresión B^2-4AC, el cual se representa con la letra I,I=B^2-4AC,donde A,B y C son los coeficientes de los términos de segundo grado.
Si el valor del discriminante de una ecuación es negativo, cero o negativo, ello nos indica que la ecuación corresponde a una elipse, a una parábola o a una hipérbola, respectivamente. Estas tres curvas son las que reciben el nombre genérico de cónicas.
Resumiendo lo anterior, decimos:
Siendo I=B^2-4AC
Si I<0 es una Elipse
Si I=0 es una Parábola
Si I>0 es una Hipérbola

ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO

Los coeficientes de los términos de segundo grado son los que determinan qué curva corresponde una ecuación dada y el término Bxy no aparee nunca en la circunferencia y tampoco en la parábola, elipse o hipérbola si sus ejes coinciden o son paralelos con los ejes cartesianos.
Otra alternativa de construir un cono, es considerar una recta con un punto y una inclinación fijos, y tomar en cuenta la superficie generada por dicha recta al hacer un giro de 360 grados respecto al punto fijo y manteniendo constante la inclinación, dicha superficie se considera como un cono circular recto que tiene dos mantos.

• Si el corte es paralelo a la generatriz y es en el vértice, lo que se obtiene es una recta (la generadora de los mantos). En este caso los coeficientes de los términos cuadráticos y el término xy son cero.
La primera definición conocida de sección cónica surge en la Antigua Grecia, cerca del año 1000 (Menæchmus) donde las definieron como secciones “de un cono circular recto”. Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Perge. 
• Si se corta el cono con un plano paralelo a su base, el corte es una circunferencia.
• Si se corta el cono con un plano paralelo a su generatriz, el corte es una parábola.
• Si se corta el cono con un plano paralelo a su altura, el corte es una hipérbola.
El plano corta los dos mantos del cono y por lo tanto la hipérbola tiene dos ramas.
• Si se corta el cono con un plano que no sea paralelo a alguno de sus elementos, el corte es una elipse.