Trigonometria

La palabra trigonometría se deriva de dos raíces griegas: trigo que significa triángulo y metra que significa medida. La trigonometría se originó como el estudio de las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos y se empleó para resolver inicialmente problemas de navegación y realizar cálculos astronómicos. Los babilonios y los egipcios fueron los primeros en utilizar razones trigonométricas para tomar medidas en agricultura y para la construcción de piramides. 

En grecia se destacan los trabajos de pharco de nicua y de Claudio tolomeo quienes construyeron las primeras tablas de las funciones trigonométricas.

A finales del sigo XIII los astrónomos arabes emplearon la función seno y a finales del sigo X ya se utilizaban las otras 5 funciones. La trigonometria arabe se difundió por medio de traducciones de libros de astronomia arábicos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII . En la actualidad la trigonometría se usa en muchos campos del conocimiento tanto teóricos como prácticos e intervienen en gran cantidad de investigaciones geométricas y algebraicas, razón por la cual su aplicación no se limita a las relaciones entre los ángulos y lados de un triangulo. 

Definición de las funciones trigonométricas en un ángulo en posición normal 

Si (theta) en un ángulo en posicion normal y P(x,y) es cualquier punto contenido en el lado final diferente de 0(0,0) se cumple que op=r= raíz cuadrada de x a la 2 más y a la 2.

se define las funciones trigonometricas para el angulo (theta) de la siguiente manera 

      

Como consecuencia de las definiciones anteriores, se obtienen las siguientes relaciones reciprocas. 

Los valores de las funciones trignometricas de un ángulo theta es independiente del punto que se ubique sobre su lado final de la siguiente figura se plantea una sencilla grafica que demuestra esta afirmación. Los triángulos ORQ y OSP son semejantes son rectángulos y tienen el ángulo theta en común; por lo tanto 

Cabe notar que las funciones tangente y secante no estan definidas para los angulos (pi)/2 y 3(pi)/2

De la misma manera las funciones cotangente y cosecante no esta definidas para los angulos 0+- (pi) y +- 2(pi) 

Ejemplo 

Signos de las funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal

Para determinar el signo de las funciones trigonometricas se debe analizar el comportamiento de r,x, y.

Si theta es un ángulo en posición normal y p(x,y) es un punto sobre el lado final de theta diferente de (0,0). 

x y y varian dependiendo el cuadrante en que se encuentra por lo tanto el signo del valor de las funciones trigonometricas para cada angulo depende de los signos de x y y. En el siguiente cuadro se presentan los signos de las funciones del angulo theta en posición normal para los diferentes cuadrantes en que pueda estar ubicado el lado final 

si theta es un angulo en posicion normal determinar los posibles valores de la función tangente si coseno de theta=1/2=x/r

Funciones trigonométricas de los ángulos cuadrantes

Hasta el momento se han estudiado los ángulos cuyo lado final se encuentra en uno de los cuatro cuadrantes, ahora es importante considerar los ángulos cuyo lado final coincide con uno de los semi ejes del plano cartesiano. 

A los ángulos en posición normal cuyo lado final coincide con algunos del plano cartesiano se le llama ángulos cuadrantes. En la siguiente figura se muestran los ángulos cuadrantes 90º, 180º, 540º, -90º, -180º 

Para determinar las funciones trigonométricas de los ángulos cuadrantes, se considera que sobre su lado final se encuentran algunos de los puntos

En el siguiente cuadro se presentan los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos cuadrantes mayores iguales que cero o iguales que cero.

Razones trigonométricas en un triángulos rectángulos

Observa la siguiente figura

   

Cual es la medida del ángulo a? 

Cuanto mide el segmento AB?  

Los triángulos rectángulos ABC y EBO son semejantes porque cumplen el criterio de la semejanza Angulo- angulo (los dos tienen un ángulo recto y comparten la medida del ángulo de 33.69°). Por lo tanto, el angulo a es congruente con el angulo C, Es decir, a=56,31°. 

Por ser triangulos semejantes, se pueden establecer razones y proporciones entre las medidas de sus lados y así hallar la medida del segmento AB 

AC\ED=AB\EB; Entonces, 4\2=AB\3

Por lo tanto, AB=6

Otro tipo de razones se pueden establecer entre las medidas de los lados y los ángulos agudos en un triangulo rectángulo. Estas razones se denominan razones trigonométricas se definen las razones trigonométricas del angulo B como presenta a continuación: 

Observa el siguiente cuadro: 

Ejemplo 1. 

Las razones trigonométricas para un angulo agudo a (alfa) en el triangulo rectángulo ABC de la figura 3.26 se calcula aplicando las relaciones anteriores 

Sen a(alfa)=2/3 Cos a(alfa)= raíz cuadrada de 5/3 Tan a(alfa)= 2/raiz cuadrada de 5=2 raiz de 5/5

Ejemplo 2 

Si se sabe que theta= raíz cuadrada de 7/4, es posible calcular las demás razones trigonométricas para el ángulo theta. Dado que el seno se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, se puede dibujar un triangulo rectángulo tal que theta sea uno de sus ángulos agudos, la longitud del cateto opuesto a theta sea raíz cuadrada de 7 u y la de la hipotenusa. 4 u. 

 

Al utilizar el teorema de pitágoras, se obtiene que la longitud del cateto adyacente a theta esta dada por: 

X= raiz cuadrada de 4 a la 2- raiz cuadrada de 7 a la 2= raiz de 9= 30

De modo que los demas razones trigonométricas se pueden calcular así: 

Ejemplo 3: 

observa la figura 

Para calcular las razones trigonometricas de los ángulos a(alfa) y b(beta) del triangulo rectangulo, se usa el teorema de pitagoras como sigue: 

y a la 2= 5 a la 2 + 12 a la 2= raiz cuadrada de 25+144=13

Por lo tanto 

Si se sabe que seno b(beta)= cos b(beta)=4/5 y tan B 3/4, Para calcular las demás razones trigonométricas se tiene en cuenta los siguiente. Como CSC b(beta) es una razón inversa a sen b(beta) Sec b(beta) es inversa a Cos b(beta) y cot b(beta) es inversa a tan b(beta) entonces.