Razones trigonométricas en ángulos de 30º, 45º y 60º

Razones trigonométricas en ángulos de 30°, 45° y 60°

Ángulos de 30° y 60° 

Para determinar las razones trigonométricas en ángulos de 30° y 60° se utiliza una construcción auxiliar de un triangulo equilátero. 

                     

      

Razones de 30°

Razones de 60°

Circunferencia unitaria

El estudio de las funciones trigonométricas el análisis de su comportamiento y de la identificación de su dominio y su rango. 

Para realizar dicho analisis se considera la circunferencia de radio 1 centrada en el plano cartesiano.

La circunferencia unitaria es aquella que tiene como centro el origen del plano cartesiano y de radio la unidad 

En la anterior figura se muestra la circunferencia unitaria que contiene al punto p(x,t). Al aplicar el teorema de pitágoras se obtiene que para cada punto p (x,y) se cumple: X elevado a la 2 + Y elevado a la 2= 1

Si theta es un ángulo en posición normal cuya medida es igual a t rad la medida del arco S subtendido por dicho ángulo en la circunferencia unitaria se obtiene mediante: 

Verificar que el punto M (1/2, -raiz cuadrada de 3/2) Pertenece a la circunferencia unitaria 

Razones trigonométricas definidas en una circunferencia unitaria 

Si theta es la medida de un arco descrito en una circunferencia unitaria con extremos en los puntos (1,0) Y el punto p (x,y) se tiene que:

Si la medida de un ángulo es posición normal es t rad y el lado final del ángulo contiene al punto p (x,y) que permanece a la circunferencia unitaria, se tiene que

A partir de las anteriores expresiones se tiene que:

Las funciones trigonométricas, sen t, cos t, tan t, cot t, sec t y csc t definidas en una circunferencia unitaria se denomina funciones circulares

Ejemplo:

Verificar que el punto p (-3/5, 4/5) Pertenece a la circunferencia Unitaria. 

a. determinar las funciones trigonométricas de t donde t es un numero real positivo igual a la medida del ángulo correspondiente al arco de extremos (1,0) y p (-3/5, 4/5) 

observe la siguiente figura: 

observe el siguiente cuadro: 

Ángulos

Es la union de los dos rayos o semirectas con el mismo origen. a las semirectas se le denomina lados, y al origen se le llama vertice.

según esta definición el orden en que se nombran los lados de un ángulo es indiferente. sin embargo en el estudio de la trigonometria es importante tener en cuenta el lado que se nombre primero.

Es decir hay diferencia, es decir, el ángulo CBA y el ángulo ABC ya que nos permite identificar el sentido y el signo del ángulo (positivo-negativo).

Considerando así los ángulos se llaman orientados 

los angulos tambien se pueden nombrar con las letras griegas 

• alfa
• beta
• theta  

Ángulos sobre el plano cartesiano 

Un ángulo se considera que esta en posición canonica o normal si su vertice coincide con el origen y su lado inicial es el semi eje positivo de las x.

Cuando un ángulo se encuentra en posición normal el lado final indica en que cuadrante se encuentra el ángulo. 

Los ángulos son complementarios 90º

los ángulos son suplementarios 180º

dos ángulos en posición normal pueden tener el mismo lado final en este caso se dicen que los ángulos son coterminales 

Medición de ángulos

Los ángulos se miden en grados y radiales. El grado es la unidad de medida de los ángulos en el sistema sexagesimal y el radial es la unidad de medida en el sistema ciclico. 

Medida de angulo en el sistema sexagesimal 

un ángulo generado por la rotación del lado final en una vuelta mide 360º. El grado sexagesimal se define como 1º= 1/360 de una vuelta.

Un grado sexagesimal equivale a 60 minutos.

1º= 60' 

1'= 60''

35, 225º= 35º

0,225*60= 13,5' =13' 

0,5*60=30'' 

35,225=35º 13' 30''       decimal-sexagesimal 

Medidas de ángulos en el sistema

Sobre una circunferencia en el ángulo central Alfa, determinada un arco AB se dice que la medida de un ángulo Alfa es igual a un radial si la longitud del arco tiene la misma medida que el radio de la circunferencia. 

Equivalencia entre el sistema sexagesimal y ciclico   

Como el perimetro de toda circunferencia esta dado por 2(pi).r donde (pi) es igual a 3,1441594... y r es el radio de la circunferencia, la cantidad de veces que esta el radio de una circunferencia en su perimetro esta dado por el cociente 2(pi).r/r= 2(pi). Esto quiere decir que un ángulo completo cuya medida es de 360º=2(pi) radiales. 

360º=2(pi) rad                    360º=2(pi) rad
1º*360=2(pi) rad                2(pi) rad= 360º

1º=2(pi)/360 rad                 2(pi)*1 rad=360º

1º= (pi)/180 rad                  1 rad= 360º/2(pi)

                                            1rad= 180º/(pi) 

En la siguiente figura se muestran algunas equivalencias entre en sistema sexagesimal y el ciclico 

Longitud de un arco

La longitud de un arco S descrito sobre una circunferencia se calcula mediante la expresión  

S= q(theta). r 

Velocidad Angular

Cuando un objeto gira, su rapidez depende del angulo que barre y del tiempo empleado en barrer dicho angulo.

Por ejemplo en el disco gira un angulo theta en un tiempo T, todos sus radios barren el mismo angulo en dicho tiempo. 

Si un objeto gira ángulos iguales en tiempos iguales se define la velocidad angular como W=(theta)/t 

La velocidad angular. se mide en radianes por segundo o radianes por horas.

El numero de vueltas que realiza un objeto en una unidad de tiempo se denomina frecuencia. Si el ángulo se mide en vueltas y el tiempo en minutos la frecuencia se expresa en revoluciones por minuto.

Ejemplo: 360º=2(pi)

Determina la velocidad angular de una polea de un motor que gira a mil revoluciones por minutos 

2(pi)*1000=2000(pi)

(theta)= 2000(pi) rad

t=60 seg

W=2000(pi) rad/60 seg 

W=33,33(pi) rad/seg

Velocidad lineal

La velocidad lineal (v) de un punto sobre una circunferencia se define de dos maneras

V=s/t  ó  v=r.w  

V=s/t= r.(theta)/t=r.(theta)/t=r.w 

Con respecto al movimiento de la tierra al rededor de su propio eje, para un punto del ecuador terrestre determina, la velocidad angular y velocidad lineal.

Velocidad angula

Velocidad lineal 

Plan de estudio

1. Razones trigonométricas

• Angulo y sistema de medición
• distancia entre puntos
• triángulos rectángulos
• razones trigonometricas
• identidades trigonométricas fundamentales 
• identidades para ángulos complementarios 
• aplicación: solución de triángulos rectángulos 

2. Funciones trigonométricas

• Función circular
• Ángulos de referencia 
• Gráficas de funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente 
• Gráficas las funciones trigonométricas: secante, cosecante y cotangente 
• Curvas sinusoidales: traslación, ampliación, periodo y fase 

3.  Identidades y ecuaciones trigonométricas

• identidades 
• identidades para la adición y sustracción de ángulos
• identidades para ángulos dobles y medios 
• ecuación trigonometrica 
• ley del coseno
• aplicación: solución de triángulos oblicuangulos  

4. geometria analitica

• lugares geométricos 
• la linea recta 
• la circunferencia 
• la parabola 
• la elipse 
• la hipérbola
• translaciones cónicas  
• ecuación general de segundo grado en 2 variable